CEMRACS '09... Ecole d'été (cours)

• Principe des méthodes level set. Notions géométriques
• EDP de diffusion en traitement d'image
• Diffusion anistorope et méthodes level set
• Diffusion anisotrope et réseaux de neurones
• Méthodes level-set et mécanique des fluides complexes
• Modélisation level set de tissus biologiques

• 1. Overview and fundamentals
• 2. Monolayers: dense phenotypes
• 3. Cellular automaton
• 4. Multi-cellular spheroids
• 5. Liver regeneration

La modélisation mathématique en biologie et en médecine consiste par définition à développer des modèles physiologiques qui décrivent au mieux les phénomènes étudiés.
Lorsque des mesures provenant de différents sujets sont disponibles et que l'on souhaite expliquer ces données par un modèle, on est amené à prendre en compte non seulement le phénomène biologique étudié, mais également toutes les sources de fluctuations présentes dans ces données : les erreurs de mesures d'une part et la variabilité entre les sujets d'autre part. Lorsque le modèle considéré est paramétrique, cela signifie que l'on considère que les paramètres du modèles peuvent fluctuer d'un individu à l'autre. L'approche dite "de population" consiste alors à définir un modèle probabiliste qui décrit ces fluctuations comme aléatoires autour d'un paramètre "moyen" de population. Ces modèles à effets mixtes sont aujourd'hui très largement utilisés en pharmacométrie, pour décrire par exemple la concentration d'un médicament au cours du temps dans un organisme (modèle pharmacocinétique) ou encore la dynamique virale pour expliquer par exemple la variabilité des réponses à un même traitement anti-VIH.
Je présenterai dans ce cours les modèles à effets mixtes ainsi que certains outils d'analyse de ces modèles. En particulier, l'estimation des paramètres du modèle est particulièrement difficile lorsque le modèle est non linéaire et décrit par un système d'EDO. L'algorithme SAEM (Stochastic Approximation of EM) est un algorithme stochastique qui permet de calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance sans approximation du modèle sous des hypothèses assez générales. Je présenterai également certains outils de sélection et validation de modèle, soit graphiques, soit numériques et basés sur une estimation de la vraisemblance du modèle.

L'analyse d'images biomédicales consiste à traiter les données acquises et à les interpréter automatiquement pour permettre un diagnostic ou une chirurgie assistés par ordinateur. Le but de ce cours est d'aborder les concepts mathématiques sous-jacents à cette démarche. Typiquement, un modèle mathématique sera d'abord établi pour décrire la tâche à réaliser. On l'associe ensuite aux données mesurées sur le patient grâce à une fonction objectif à minimiser. Enfin, l'ensemble des paramètres optimaux est déterminé numériquement, relativement au modèle considéré.
Nous aborderons des méthodes à base d'EDP ainsi que d'autres associées à l'optimisation discrète :

• 1. Image enhancement, noise removal and compression
• 2. Image grouping, unsupervised clustering and model-free segmentation
• 3. Prior knowledge, manifold-constrained and manifold enhanced image segmentation
• 4. Optical flow and Deformable Registration using continuous and discrete optimization methods
• 5. Machine learning and supervised classification with applications to computer aided diagnosis
• 6. Clinical aplications