Journées MAS 2010

Statistique des processus - Application en Finance (pdf)

Session organisée par Nicolas Savy (Université Toulouse)

Le développement et l'analyse de modèles financiers et des objets qui lui sont associés ont attiré une grande attention ces dernières années. En effet, ces concepts offrent une grande complexité de modélisation et, de fait, des modèles de plus en plus compliqués ont été développés.
Le calcul stochastique a été largement utilisé, à commencer par la fameuse formule de Black et Scholes, tout en étant fortement décrié du fait de la crise financière. De fait, le calcul stochastique peut aider à comprendre les phénomènes en les modélisant. Mais, une fois ces modèles mis en place, une nouvelle difficulté apparaît, celle de la calibration à savoir comment estimer à partir de données réelles les différents paramètres d'un modèle.
Dans les exposés de cette session nous montrerons la grande diversité des domaines d'application du calcul stochastique en Finance. L'accent sera mis sur l'aspect statistique de ces problèmes.

Exposé de 40 minutes Fabien Panloup (INSA Toulouse) an collaboration avec Alexander Alvarez, Monique Pontier et Nicolas Savy Estimation de la volatilité instantanée dans un modèle à volatilité stochastique transparents

Dans ce travail, nous nous intéressons à l'estimation de la volatilité instantanée dans un modèle à volatilité stochastique. S'inspirant de travaux récents sur l'estimation de la volatilité intégrée, nous étudions une famille d'estimateurs construits comme des taux d'accroissement des variations d'ordre p du log-prix.
Via l'obtention de TCLs pour ces estimateurs, nous montrons qu'il existe une vitesse optimale dépendant du comportement local de la volatilité (vitesse en n^{1/4} dans le cas général). En application de ces résultats, nous construisons dans un modèle simple un test pour la détection de sauts du processus de volatilité dans un intervalle [a,b].

Exposé de 20 minutes Diana Dorobantu (ISFA) en collaboration avec Areski Cousin et Didier Rullière Modèle multi-périodique de contamination des entreprises transparents

Nous présentons une extension du modèle de Davis et Lo. Nous considérons un marché à n entreprises qui peuvent faire défaut directement ou par contamination (un effet domino étant également possible). Les défauts directs et les contaminations sont modélisés par des variables aléatoires non nécessairement indépendantes, et plusieurs contaminations peuvent être requises pour engendrer un défaut par contagion. Dans ce papier nous nous intéressons à la loi du nombre total de défauts. Nous fournissons notamment la loi du nombre de défauts dans un cadre de dépendance, ainsi qu'un procédé récursif simplifié dans un cadre d'interchangeabilité. Nous examinons le calibrage du modèle sur des données iTraxx avant et pendant la crise. Le dispositif dynamique ainsi que l'effet de contagion semblent avoir un impact important sur la performance du modèle, particulièrement au cours de la crise financière récente.

Exposé de 20 minutes Xavier Milhaud (AXA) en collaboration avec Stéphane Loisel et Véronique Maume-Deschamps Surrender triggers in Life Insurance : classification and risk predictions transparents

En Assurance Vie, certaines caractéristiques de contrats jouent un rôle majeur dans la décision de l'assuré de racheter son contrat. Les conditions de souscription, son âge, son statut marital ainsi que d'autres facteurs propres à sa situation lors de la souscription influencent ses décisions. Souvent l'environnement économique et financier a également un impact direct sur les comportements des assurés. Deux modèles de segmentation nous ont permis de développer ces idées : les arbres de classification et de régression, et la régression logistique. Les contrats de type Prévoyance ainsi que ceux d'Epargne sont impactés, et les résultats montrent clairement que la garantie de participation au bénéfice est très discriminante. Nous nous focalisons dans cette étude sur des produits de type Mixte. Nous présentons dans un premier temps les fondamentaux de chacun des modèles ainsi que leurs hypothèses et limites. Puis nous testons différents facteurs comme possibles déclencheurs de la décision de rachat, dans le but de segmenter le portefeuille en classe de risque : la duration du contrat et l'option de participation au bénéfice sont des éléments essentiels. En dernière partie, nous discutons des différences entre les deux modélisations en termes de résultats numériques et d'un point de vue opérationnel.

Exposé de 20 minutes Nicolas Savy (Université Toulouse) en collaboration avec Bernars Bercu et Laure Coutin Grandes déviations précises pour un Ornstein Uhlenbeck Fractionnaire. transparents

Dans ce travail ont s'attache a obtenir un un principe de grandes déviations précises pour l'énergie et l'estimateur du maximum de vraissemblance du paramètre $\theta$ de dérive d'un processus de Ornstein Ulhenbeck dirigé par un mouvement Brownien fractionnaire:
dX_t=\theta X_t dt +dW_t^H
avec X_0=0 et (W^H_t) un mouvement Brownien fractionnaire de paramètre $H$. Dans cet article, le cas ergodique \theta < 0 et H \geq \frac{1}{2} a été envisagé.