Journées MAS 2010

Géométrie aléatoire avec interaction gibbsienne, applications (pdf)

Session organisée par David Dereudre (Université Valenciennes) et David Coupier (Université Lille 1)

Les mosaïques poissonniennes de Voronoï ou Delaunay, les modèles booléens ou toute autre structure géométrique provenant d'un processus de Poisson sont souvent utilisés en physique ou en biologie pour représenter des structures géométriques aléatoires. Leur nature poissonnienne a néanmoins l'inconvénient d'exhiber de fortes propriétés d'indépendance rendant leur utilisation parfois inappropriée. Il est donc naturel d'en considérer des modifications gibbsiennes pour obtenir des modèles plus réalistes. Les processus étudiés sont donc localement absolument continus par rapport au processus poissonnien sous-jacent avec une densité dépendant de la structure géométrique locale.
Dans cette session, nous souhaitons présenter quelques résultats de géométrie aléatoire en interaction gibbsienne. Nous évoquerons des problèmes pratiques tels que la modélisation, la simulation, l'estimation des paramètres et également des questions plus théoriques telles que l'existence des mesures de Gibbs, la percolation et la transition de phase.

Exposé de 40 minutes Jean-François Coeurjolly (Université de Grenoble) Introduction aux processus ponctuels de Gibbs : modélisation, identification et validation transparents

L'objectif de cet exposé vise à présenter quelques aspects théoriques et pratiques induits par la modélisation d'un processus ponctuel marqué par un modèle de Gibbs stationnaire. De manière approximative, une mesure de Gibbs stationnaire est définie via une densité locale sous la forme e^{-V} par rapport à une mesure de Poisson (d'intensité 1). La fonction V appelée fonction énergie (ou hamiltonien) peut être extrêmement générale : elle peut s'appliquer sur les points, les paires de points, triplets,... ou sur des caractéristiques géométriques globales telles que le périmètre ou volume de réunion de boules,...
Dans un premier temps, je définirai plus précisément les mesures de gibbs, présenterai quelques modèles classiques et d'autres plus structurés (processus d'interaction par paires agissant sur un graphe de Delaunay, diagramme de Voronoï, modèle booléen) et évoquerai les problèmes d'existence dans $R^d$ (et de transition de phase). Ce dernier problème est crucial en vue de l'obtention de résultats asymptotiques de méthodes d'inférence.
Dans un second temps, je présenterai les principales méthodes d'identification disponibles ainsi que quelques uns des résultats associés : méthode du maximum de vraisemblance, du maximum de pseudo-vraisemblance, de Takacs-Fiksel,...
Enfin, dans un dernier temps, je dirai quelques mots sur les outils disponibles pour tenter de juger de l'adéquation d'un jeu de données à un modèle Gibbsien. En particulier, je présenterai la notion de résidus pour des processus ponctuels spatiaux et des résultats asymptotiques récents permettant de dériver plusieurs tests d'adéquation. Nous verrons que l'un d'entre eux constitue une extension tout à fait naturelle du test de dispersion d'un processus de Poisson, basé sur les comptages de quadrats.

Exposé de 20 minutes Kiên Kiêu (INRA Jouy-en-Josas) en collaboration avec Katarzyna Adamczyk et Hervé Monod Un modèle gibbsien de tessellation pour la simulation de paysages transparents

Le rôle du paysage dans des modèles de diffusion est l'objet de nombreuses études en agronomie. En particulier, on s'intéresse à l'impact du parcellaire agricole sur la dispersion de pollen de cultures OGM, sur la diffusion de spores en épidémiologie végétale. Pour cela, il est nécessaire d'analyser comment des flux sont affectés lorsqu'on fait varier un parcellaire. Notre objectif est donc de pouvoir simuler des parcellaires ayant des caractéristiques géométriques réalistes.
Les parcellaires agricoles peuvent souvent être représentés par des tessellations en T. Une tessellation polygonale en T est définie comme une tessellation dont tous les sommets sont de degré 3 et où 2 des 3 arêtes incidentes à tout sommet sont colinéaires. Plusieurs modèles de tessellations en T aléatoires ont déjà été proposés comme le modèle de tessellation rectangulaire de Mackisack et Miles, le modèle d'Arak et al. ou les tessellations imbriquées de Nagel et Weiss.
Nous proposons une extension du modèle d'Arak qui permet d'obtenir des motifs de tessellations spécifiques. Cette extension est basée sur une fonction d'énergie dont les termes correspondent aux propriétés géométriques qu'on cherche à contrôler. La simulation de ce modèle est basée sur le principe de Metropolis-Hasting-Green. Trois types de mises à jour permettent d'explorer l'espace des configurations possibles. Nous montrons, sous certaines conditions, la convergence en variation totale de la loi de la chaîne de Markov. Nous discuterons aussi de l'ergodicité géométrique qui permettrait d'obtenir un théorème central limite.
La mise en ouuvre de l'algorithme de simulation et des questions pratiques qu'il soulève seront illustrées par des exemples. On présentera aussi un exemple d'estimation par maximum de vraisemblance MCMC.

Exposé de 20 minutes Rémy Drouilhet (Université de Grenoble) en collaboration avec David Dereudre et Han-Otto Georgii Existence de processus ponctuels avec interactions de type plus proche voisins transparents

Dans cet exposé, nous présenterons un résultat d'existence de mesures de Gibbs stationnaires avec interactions basées sur des structures géométriques. Nous nous concentrerons plus particulièrement sur les interactions (du type plus-proche voisins) définies à partir du graphe de Delaunay. L'originalité de ce travail réside dans le fait que les deux principales hypothèses pour obtenir ce résultat d'existence sont la stabilité de l'interaction (ou plutôt une légère extension pour inclure les modèles non nécessairement héréditaires) et la localité du graphe de Delaunay. Il est à noter qu'à la différence des principaux précédents travaux relatifs aux modèles de Gibbs avec interactions au sens de Delaunay, la restrictive propriété de stabilité locale n'est pas requise.
Nous présenterons succinctement un résultat de relative compacité sur l'ensemble des processus stationnaires ayant une entropie uniformément bornée. Il est en effet l'outil théorique fondamental de la preuve de notre théorème.
Cette présentation sera complétée par quelques simulations de ce type de processus ponctuels.

Exposé de 20 minutes David Coupier (Université Lille 1) en collaboration avec David Dereudre Percolation dans le modèle Quermass transparents

Le modèle booléen poissonnien dans le plan consiste en l'union de disques de rayons aléatoires et indépendants, centrés en les points d'un processus de Poisson stationnaire. Il croît (au sens de l'inclusion) avec l'intensité z du processus de Poisson si bien que, pour z assez grand, une composante connexe non bornée apparaît : il y a percolation.
Considérons désormais une interaction gibbsienne entre les disques de type Quermass. L'énergie d'une configuration \gamma (en volume fini) est alors donnée par
H(\gamma) = \theta_{1} \mathcal{A}(\gamma) + \theta_{2} \mathcal{L}(\gamma) + \theta_{3} \chi(\gamma)
où \theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} sont des paramètres réels et \mathcal{A}, \mathcal{L}, \chi sont les trois fonctionnelles de Minkowski (l'aire, le périmètre et la caractéristique d'Euler-Poincaré). Si par exemple \theta_{1} est positif et \theta_{2}, \theta_{3} nuls, les configurations les plus probables sont celles d'aire minimale. C'est exactement l'inverse si \theta_{1} est n\'egatif.
Nous étudions dans ce nouveau modèle le phénomème de percolation, lorsque l'intensité z du processus de Poisson sous-jacent devient grande et pour différentes valeurs des paramètres \theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}.