Statistique Appliquée aux Énergies Renouvelables

Richard ÉMILION - Université d'Orléans

Le domaine des énergies renouvelables, où les ressources sont très aléatoires et intermittentes, est un champ d'application intéressant pour la théorie des probabilités et les méthodes statistiques. Nous illustrons ce propos par quelques exemples.

La demande croissante en énergie et la prise de conscience écologique a donné plus d'importance aux énergies dites renouvelables : énergie d'origine solaire, éolienne, hydraulique, thermique ou végétale. La part de ces énergies dans le parc énergétique reste cependant en deçà des objectifs annoncés pour plusieurs raisons : choix politiques, rentabilité, difficultés technologiques, mais surtout caractère hautement aléatoire et intermittent des ressources, que nous illustrons dans la section suivante.

Ressources et énergies aléatoires et intermittentes

Pour un lieu et un jour donnés, le rayonnement solaire sous ciel clair ou rayonnement extra-terrestre (extraterrestrial solar radiation), suit une courbe connue (Fig. 1 1ère colonne, 2ème colonne en rouge). Ce rayonnement est rendu très aléatoire par le passage des nuages, les conditions météorologiques et la réflexion du rayonnement des objets environnants, c'est le rayonnement solaire global (Fig. 1 1ère colonne, 2ème colonne en bleu). L'indice de clarté (clearness index) est le quotient du rayonnement global par le rayonnement extra-terrestre (Fig. 1 b1, b2).

Fig. 1 : Indice de clarté et histogramme de ses valeurs pour deux journées.

Si nous appelons séquence une suite d'observations entre deux instants, nous pouvons observer (Fig. 1) le caractère intermittent des séquences : chutes et pics se succèdent. L'énergie induite par une séquence, qui est l'intégrale de la séquence, est donc elle aussi aléatoire et intermittente. Concernant l'énergie éolienne, chacun a eu l'occasion d'observer que la direction du vent et son module sont aléatoires et intermittents. Il en est de même pour l'énergie hydrolienne. La maîtrise des énergies renouvelables nécessite donc l'utilisation des techniques de probabilités et de statistiques que nous présentons dans deux thèmes : la classification et l'ajustement de modèles.

Classification de séquences

Regrouper en un nombre fini de classes homogènes, des séquences observées pendant un même intervalle de temps, permet d'établir des séquences types (Fig. 2) et permet aussi de faciliter la modélisation et la prédiction sur cet intervalle pour les séquences d'une même classe. Cela est d'autant plus intéressant que l'on ne change pas de classe pendant plusieurs journées consécutives.

Fig. 2 : Séquence type de deux classes après une classification des histogrammes.

Certaines méthodes de classification utilisent une notion de distance entre séquences, distance qu'on est amené à choisir, d'autres partent d'une analyse en composantes principales des séquences, enfin on peut aussi ne s'intéresser qu'aux valeurs prises par les séquences et classifier leurs histogrammes par une estimation de mélanges de lois de Dirichlet. La convergence de la classification, quand le nombre de tranches de l'histogramme augmente, se démontre à l'aide du théorème des martingales et d'un théorème sur les processus de Dirichlet.

Ajustement de modèles

• Intérêts de la modélisation

  Décrire les courbes observées à l'aide de modèles probabilistes est une tâche très délicate mais elle présente plusieurs intérêts comme évidemment la prédiction de l'énergie dont on pourrait disposer entre deux instants. Un deuxième intérêt, moins connu, est qu'un modèle adéquat améliore considérablement la conception des convertisseurs (panneaux solaires, éoliennes, ...). Par exemple, à partir d'un modèle probabiliste, on peut simuler par ordinateur de nombreuses séquences de vents pour régler les composantes électroniques des éoliennes grâce à un programme d'optimisation.

• Quelques exemples de modélisation

  - Le processus du module du vent a été modélisé par des séries temporelles et par le mouvement brownien multifractionnaire, un processus plus irrégulier que le mouvement brownien.
  - L'indice de clarté de séquences courtes a été modélisé par une EDS (équation différentielle stochastique) et celui d'une séquence journalière par une EDS en milieu aléatoire, où le milieu qui représente l'aléa dû à l'environnement est modélisé par une chaîne de Markov à temps continu.
  - Des modèles de séries spatio-temporelles ont été utilisés pour prédire, à partir de quelques points de mesure, le rayonnement solaire au voisinage de ces points. Cela permet d'établir une cartographie du rayonnement solaire sans avoir besoin d'effectuer des mesures en tout point.

Texte de Richard Emilion (MAPMO) du «Dossier Spécial Mathématiques» de Microscoop (voir l'article et les références bibliographiques associées)

Vie de Mathématicienne : Elodie Hérault

Que font les mathématiciens ? Elodie Hérault a répondu à nos questions. Elle est ingénieure en traitement d'image chez Metso-Cisa (industrie minière et construction)

Statistique Appliquée aux Énergies Renouvelables

Vie de Mathématicienne : Elodie Hérault

Le questionnaire de Proust : Roberto Natalini

Alphabet : D comme distance

L'analyse mathématique aide à démêler les chromosomes des bactéries

Calcul mental avec l'aide... du chocolat chaud !

Opération passage

Brèves

Enigme

Brèves

Calendrier mathématique 2014

Le Calendrier mathématique 2014 propose un vrai défi : résoudre chaque jour de la semaine un exercice ou un problème mathématique. Les solutions sont détaillées dans une brochure qui accompagne le calendrier.

Concours BD 2013
« histoire des mathématiques »

Découvrez l’identité des participants et des lauréats.

Prix Felix Klein

Michèle Artigue reçoit le prix Felix Klein

Dance your PhD

Introduire son sujet de thèse en dansant. Vidéo gagnante de la compétition "Dance Your PhD 2012" dans la catégorie Maths et Physique.

Symbolab

Symbolab est un moteur de recherche d’un genre spécial, c'est un moteur de recherche sémantique pour les équations mathématiques. Les résultats de recherche sont uniquement en anglais et proviennent de sites tels que celui du MIT.

Tinyproof

Des théorèmes prouvés en un Tweet. Essayez !

Revue de presse

Découvrez comment les mathématiques apparaissent dans les médias au travers de la revue de presse proposée par Images des Maths.

Enigme

Réponse à l'énigme de la lettre précédente ici

La course folle du tonneau dans la neige

Un tonneau de forme cylindrique ayant un diamètre de 10 cm est lâché du haut d'une pente enneigée. Il roule sur une distance de 148,27 mètres. A chaque tour complet du tonneau une couche de neige se dépose autour du tonneau, d'une épaisseur constante et égale au dixième du diamètre du tour précédent.

Quel sera le diamètre du rouleau en bas de la piste ?

Réponse au prochain numéro.

Le questionnaire de Proust : Roberto Natalini

Roberto Natalini est directeur de recherche au CNR (le conseil national de recherche en Italie), affecté à l'Istituto per le Applicazioni del Calcolo "Mauro Picone" de Rome. Ses intérêts de recherche concernent principalement l'analyse mathématique et numérique des équations aux dérivées partielles (en particulier de type hyperbolique et parabolique) appliquées à la biologie, à la conservation des monuments, au trafic routier et à la dynamique des gaz.
Il est membre du conseil directif de la SIMAI (la société italienne de mathématiques appliquées et industrielles) et coordinateur du site MaddMaths! italien (http://maddmaths.simai.eu/). Depuis juillet 2012 il est responsable scientifique du Guichet des Mathématiques pour l'Industrie Italienne (http://sportellomatematico.it/).

Alphabet : D comme distance

Beaucoup de concepts mathématiques ne sont en réalité que le résultat de la formalisation, ou la clarification d'« objets » concrets ; par exemple, la notion de « distance ».

« Quelle est la distance de chez moi au travail », « combien de temps faut-il pour se rendre à tel endroit », ... sont toutes des pensées qui communément, spontanément, viennent dans nos esprits.

Il y a plusieurs « types » de distances. Une distance à vol d'oiseau, par exemple, est différente de celle qu'on trouve en parcourant une route. En plus des distances physiques, il y a les distances temporelles et même là, la situation peut être de nature différente : combien de temps cela va-t-il prendre ? Vais-je y aller à pied, en voiture, en vélo, en bus ?

Chaque distance est relative à un problème, à une situation différente. C'est une caractéristique des mathématiques : découvrir que certaines quantités, que l'on introduit dans des contextes différents, en réalité sont des exemples d'un même concept abstrait. C'est de là qu'on déduit une définition, c'est-à-dire qu'on arrive à définir précisément le sens d'un certain mot.

On baptise alors « distance » un objet qui possède certaines propriétés, afin de rendre clair et non ambigu pour tous ce concept. Il s'agit de déterminer un vocabulaire commun pour tous les mathématiciens.

une propriété de minimisation

La propriété la plus importante de la distance est une propriété de « minimisation ». L'idée est que la distance est toujours celle qui correspond à la valeur minimale par rapport à de nombreuses stratégies possibles. Si, par exemple, on demande la distance entre Paris et Lyon, on se réfère à la route minimale qu'il faut parcourir ; on ne va pas chercher à passer par Bordeaux ou Rennes, on cherche l'itinéraire le plus direct. La formalisation de cette propriété de minimisation est donnée par la fameuse inégalité triangulaire : la distance de Paris à Lyon est plus petite que (ou au plus égale à) celle de Paris à une troisième localité, plus celle de cet endroit à Lyon. Passer vers un troisième endroit ne peut pas raccourcir le chemin (au mieux la longueur est la même).

En général, on considère deux autres propriétés pour une distance. L'une de ces propriétés est que des points différents se trouvent toujours à une distance strictement positive (en d'autres termes, on interdit le don d'ubiquité ou la possibilité de téléportation). L'autre est celle de symétrie : pour aller de Paris à Lyon on doit faire les mêmes kilomètres que pour aller de Lyon à Paris. Mais il y a des cas, dans la vie réelle, où la symétrie n'est pas vérifiée. Prenons le cas des rues à sens unique : parfois aller d'un endroit à un autre en voiture peut être beaucoup plus court que le voyage de retour...

Quel est l'avantage d'introduire le nom de distance ?

Enfin, on se demande : quel est l'avantage d'introduire le nom de distance ? Essentiellement, c'est de voir sous un même point de vue des problèmes différents. Objets et quantités introduits dans un cas peuvent en effet être transportés à l'autre et cela peut être extrêmement rentable. Donc on espère (et cela arrive souvent) résoudre deux problèmes pour le prix d'un. Simple question de commodité...

Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l'autorisation de l'auteur.

L'analyse mathématique aide à démêler les chromosomes des bactéries

Quand une cellule de l'Escherichia coli se divise, elle doit dupliquer son chromosome circulaire et pousser les anneaux créés pour qu'ils aillent se fixer dans deux nouvelles cellules. Cette procédure, semblable au tour de magie où l'on sépare deux anneaux métalliques, peut paraître simple, mais en réalité dénouer et séparer les ADN enlacés est bien plus complexe.

Dans une étude récente, publiée en ligne dans le journal « Proceedings of the National Academy of Sciences », la professeure de mathématiques Mariel Vazquez (San Francisco) et une équipe internationale de scientifiques proposent une étude mathématique analysant comment ces chromosomes sont déconnectés par l'enzyme de recombinaison XerCD.

Certains antibiotiques, comme la ciprofloxacine, prescrits pour les infections de Escherichia coli, ciblent les enzymes responsables de la déconnection de l'ADN. Mais les cellules bactériennes traitées par ces médicaments peuvent trouver d'autre moyens de se séparer, comme celles présentées dans l'étude de M. Vazquez, leur permettant de survivre (rendant donc inutile l'action de l'antibiotique). La compréhension du processus de déconnection « peut aussi conduire à la fabrication de meilleurs médicaments anti-bactériens, avec un effet clairement positif sur la santé humaine », observe M. Vazquez.

Comprendre les infections bactériennes

Les infections par l'Escherichia coli et d'autres bactéries représentent un risque élevé pour la santé humaine. Selon le centre américain de contrôle des maladies et de la prévention, chaque année au moins deux millions de personnes sont infectées par des bactéries résistant aux antibiotiques et au moins vingt-trois mille personnes meurent chaque année suite à ces infections. Et pour comprendre les infections bactériennes, il est essentiel d'étudier comment les cellules comme l'Escherichia coli se dupliquent.

Des expériences biologiques ont donné à M. Vazquez et à ses collègues des indices concernant la séparation de chromosomes de l'Escherichia coli avant la séparation cellulaire. Cependant, ces expériences ne fournissent pas un cadre clair à toutes les étapes qui composent la séparation cellulaire.

Pour compléter ce cadre, les chercheurs proposent une analyse mathématique rigoureuse qui utilise une méthode d'enchevêtrement pour décrire les changements qui ont lieu pendant la séparation, étape par étape. Dans ce cas, « l'enchevêtrement » représente deux sites spécifiques du chromosome, liés par une enzyme de recombinaison. Les chromosomes liés après la duplication sont convertis en nœuds, puis en liens, puis en nœuds, jusqu'à ce qu'il reste deux cercles.

Les chercheurs considèrent que d'autres expériences biologiques aideraient à justifier ce modèle mathématique, mais avouent que ces expériences seraient extrêmement difficiles à produire. « Même sans ces expériences, l'analyse mathématique est une avancée significative par rapport aux études biologiques précédentes », a dit M. Vazquez.

De plus, M. Vazquez souligne que les mathématiques, la physique, l'informatique et les statistiques jouent un rôle important en biologie pour la compréhension de la topologie de l'ADN.

l'ADN n'est pas qu'une séquence de lettres

Selon M. Vazquez « il est important que les gens sachent que l'ADN n'est pas qu'une séquence de lettres. C'est une très longue molécule qui peut prendre des structures tri-dimensionnelles complexes quand il est situé dans un noyau cellulaire. Tout processus biologique qui concerne l'ADN sera affecté par cette topologie, et les changements topologiques peuvent avoir des implications biologiques importantes ».

Calcul mental avec l'aide... du chocolat chaud !

Le chocolat pourrait nous aider à mieux aborder les mathématiques ? Selon une étude menée à l'Université de Northumbria (Royaume-Uni) il semblerait que oui : en effet pour les individus qui avaient pris de grandes quantités de flavanols (composés présents dans une tasse de chocolat chaud), le calcul mental devenait beaucoup plus abordable. En outre, ces volontaires courageux se sentaient plus résistants et ressentaient moins la fatigue. Le chocolat, concluent les chercheurs, pourrait être utile pour des activités qui stimulent l'esprit. Les flavanols, auteurs de ces « miracles », appartiennent à la famille des polyphénols qui augmentent le débit sanguin dans le cerveau.

Dans l'étude, il a été demandé à trente individus de compter en arrière avec un pas de trois, à partir d'un nombre aléatoire généré par un ordinateur entre 800 et 999. Les résultats ont montré que ceux qui avaient consommé la boisson chaude pourrait faire des calculs plus rapidement et avec plus de précision. Un résultat qui, cependant, ne se reproduisait pas lorsque le pas a été porté à sept, une action plus complexe qui, selon les chercheurs, sollicitait une autre partie du cerveau. Peut-être exigeait-elle un peu de crème chantilly !

Opération passage

Imaginez une énigme, un casse-tête, ou un problème issu d'une situation concrète. Vous réfléchissez en cours, avec votre professeur et les autres élèves, à des manières de résoudre ce problème. Les maths arrivent par la petite porte... par la meilleure porte !

C'est naturellement que les notions sont précisées ; un résultat est même compris avant qu'il soit exprimé... Oui, les maths par la discussion, par l'intuition, par la recherche (de solution), par la présence d'un chercheur en mathématiques à votre cours qui prend du temps pour vous exprimer ce qui l'enthousiasme dans les maths, c'est l'opération Passage. Elle est à destination des élèves de primaire, collège et lycée, dans un cadre de formation continue mutuelle pour leur enseignant. L'enseignant et un chercheur "passeur" "partagent" la classe et préparent ensemble les passages réguliers du chercheur/passeur dans la classe. L'opération est proposée par l'institut de recherche en enseignement des mathématiques (IREM) d'Orléans depuis la rentrée de septembre 2013.

Cette action est soutenue par l'Académie d'Orléans-Tours, Animaths, Apmep, Cap Maths, Centre Galois, Centre Sciences FDP, MAPMO. Pour en savoir plus vous pouvez consulter le site internet: http://www.univ-orleans.fr/ires/irem/operation-passage.