Journées MAS 2010

Modèles bruités avec bruit inconnu ou partiellement connu (pdf)

Session organisée par Claire Lacour (Université Orsay)

On étudie souvent en statistiques des modèles bruités, le plus simple étant le modèle de convolution suivant : Y_i=X_i+\varepsilon_i, i=1,...,n où l'on observe seulement Y_1,...,Y_n mais c'est sur le signal X_i qu'on cherche des informations.
Ici \varepsilon_i désigne un bruit, typiquement une erreur de mesure. De très nombreux travaux existent sur les problèmes inverses, mais on considère en général que la loi du bruit est entièrement connue. Or, en pratique, cette connaissance est souvent très irréaliste. On s'intéresse dans cette session à l'étude de modèles bruités mais pour lesquels on ne suppose pas une connaissance parfaite de la loi du bruit, ce qui rend leur étude plus difficile. Pour des raisons d'identifiabilité, il est néanmoins nécessaire d'avoir une connaissance partielle du bruit. Par exemple, certains modèles supposent que c'est seulement la variance du bruit qui est inconnue, ou bien qu'on dispose d'observations supplémentaires du bruit seul, ou encore que l'on a accès à une approximation de la loi du bruit.

Exposé de 40 minutes Catherine Matias (CNRS) Modèles de convolution semi-paramétriques transparents

Les modèles de convolution permettent l'estimation de la densité de variables aléatoires non directement observées, et dont on observe plus précisemment la somme avec un bruit indépendant. L'analyse classique de ces modèles se fait dans un cadre non paramétrique et suppose la densité du bruit entièrement connue. Pour des raisons d'identifiabilité du modèle, il n'est en effet pas possible de supposer inconnues à la fois cette densité du bruit et celle des variables d'intérêt. Cependant, un certain nombre de contextes semi-paramétriques, où la densité du bruit n'est connue qu'à un paramètre près (ex d'échelle, de régularité) permettent de conserver l'identifiabilité des paramètres et d'assouplir les hypothèses faites sur la densité du bruit. Dans ce cadre, l'étude des vitesses minimax d'estimation ou de tests d'adéquation de la densité d'intérêt révèle des phénomènes intéressants, avec des vitesses qui sont parfois fortement dégradées (bien qu'optimales au sens du critère minimax) par la présence du paramètre de nuisance. Nous illustrerons ces phénomènes dans différents modèles de convolution semi-paramétrique.

Exposé de 20 minutes Thanh Mai Pham Ngoc (Université Paris 7) en collaboration avec Gérard Kerkyacharian et Dominique Picard Déconvolution localisée sur la sphère transparents

Nous étudions le problème de la déconvolution sur la sphère dont de nombreuses applications se trouvent en astrophysique et en médecine. Nous cherchons plus précisément à estimer la densité des variables aléatoires X_i à valeur sur la sphère $\mathbb{S}^2$ à partir d'observations Z_i dans le modèle bruité suivant :
Z_i=\varepsilon_i X_i,
avec X_i, Z_i \in \mathbb{S}^2 i.i.d et les \varepsilon_i \in SO(3) sont i.i.d. Le bruit \varepsilon_i est indépendant de X_i. Ce modèle peut donc être interprété de la façon suivante: chaque X_i est perturbé par une rotation aléatoire. Si le modèle avec bruit connu a été traité d'un point de vue théorique par Kim et Koo (1998), (2002), le modèle avec bruit inconnu constitue un véritable enjeu d'un point de vue pratique puisque les astrophysiciens ne connaissent pas la forme du bruit qui perturbe leurs observations. Aussi, proposerons-nous en pratique une modélisation du bruit qui s'adapte bien à cette inconnue.