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Sylvie MÉLÉARDModèles aléatoires et déterministes pour l'évolution adaptative de populations spatialement structurées.Nous étudions la dynamique d'une population asexuée spatialement structurée en évolution adaptative. Le but est de comprendre le rôle de la variable spatiale pour l'évolution des phénotypes (ou traits). La population est discrète et chaque individu suit un mécanisme de naissance et de mort, avec mutation et compétition entre les traits pour une certaine portée d'interaction spatiale. Les individus se déplacent suivant un processus de diffusion normalement réfléchi sur le bord d'un domaine borné, et peuvent mourir ou donner naissance à un clône, sauf en cas de mutation. Le descendant prend alors instantanément la valeur de trait mutante. Les individus sont caractérisés à la fois par leur position et la valeur de leur trait phénotypique. Nous modélisons la population par un processus de Markov ponctuel dont le générateur capture tous les mécanismes individuels. On en donne une construction algorithmique. Nous étudions ensuite une approximation macroscopique du processus en grande population quand la portée d'interaction spatiale est fixée. Grâce aux propriétés de martingales du processus microscopique, nous montrons que le processus renormalisé limite est solution faible d'une équation de réaction-diffusion infini-dimensionnelle avec conditions de Neumann au bord et non linéarité non locale. La convergence de la portée d'interaction spatiale vers 0 est alors étudiée, et conduit à une équation de même type, avec non linéarité locale. Nous présentons des simulations illustrant le rôle des interactions spatiales (non locales ou locales) sur l'émergence de la diversité dans la population (amas de traits et polymorphisme). . |
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