Journées MAS de la SMAI
Modèles Spatiaux
Lille, 4 - 6 septembre 2006

Jean-Marc AZAÏS

Géométrie des processus gaussiens et statistique spatiale

La statistique spatiale présente de nombreuses situations où l'on veut détecter un éventuel signal dans une observation spatiale bruitée. On trouve de tels exemples en agronomie, télédétection neurosciences.

Face à cette question deux réponses sont possibles

• prendre pour statistique le maximum de l'observation.
• prendre pour statistique la taille ou la forme des composantes connexes au dessus de "hauts niveaux"

Dans le premier cas se pose le problème du calcul de valeur-seuil et donc de la distribution du maximum d'un champ aléatoire. Pour ce faire nous présenterons une formule exacte implicite (Azaïs & Wschebor 2006). Nous établissons les liens avec des approximations classiques : la méthode des maxima (Azaïs& Delmas 2002), la méthode de la caractéristique d'Euler (Adler & Taylor 2006) et la méthode des records (Mercadier 2006) qui a une version informatique implantée dans la boite à outil WAFO.

En ce qui concerne la taille de composantes connexes nous rappelons les résultat de Aldous (1989).

Un problème assez similaire est la détection de ruptures dans les régimes de mer en modélisation de vagues. On cherche à détecter les instants de rupture dans le spectre à partir de "raies" de zones de changement dans les variations d'une estimation locale (en temps) du spectre.

L'étude spatiale des vagues et de la houle amène à définir des intégrales sur des lignes de niveau de champs aléatoires. On peut ainsi étudier la vitesse des contours, la vitesse et la longueur des crêtes de vagues ceci à partir de mesures de spectres effectuées par bouées ou par satellite (Topex- Poseidon).

Nous montrons des exemple numériques et nous établissons un théorème central limite. (Azaïs Leon Ortega 2005).

Adler, R.J. and Taylor J. E.(2006), Random fields and geometry. Book in preparation.
Aldous D (1989). Probability approximations via the Poisson clumping Heuristic. Springer, New-York.
Azaïs, J.-M. & Delmas C. (2002). Asymptotic expansions for the distribution of the maximum of Gaussian random fields. Extremes, 5 (2) 181-212.
Azaïs, J.-M. , Leon, J. & Ortega, J. (2005) Geometrical Characteristics of Gaussian Sea Waves, Journal of Applied probability 42, 2, 407-425.
Azaïs, J.-M. & Wschebor, M. A general formula for the distribution of the maximum of a Gaussian field and the approximation of the tails. Preprint.
Brodtkkorb, P.A., Johannesson,P., Lindgren, G., Rychlick, I., Ryden,J. & Sjö, E., WAFO - a matlabtoolbox for analysis of random waves and loads. Proceedings of the 10th International offshore Engineering conference, Seattle, Vol III,343-350. \tt http://www.maths.lth.se/matstat/wafo
Mercadier, C. (2006), Numerical bounds for the distribution of the maximum of one- and two-dimensional processes, Advances in Applied Probability 38 (1).