Améliorer ses performances de course à pied...grâce à des équations mathématiques !

Quelle est la première chose qui vous vient à l'esprit quand vous pensez au sport et aux mathématiques ? Très probablement, la craie et le fromage, non ?

Croyez-le ou non, une recherche récente, menée par les mathématiciens français Amandine Aftalion (Laboratoire de Mathématiques de Versailles) et Frédéric Bonnans (École Polytechnique), a montré comment le sport pouvait grandement bénéficier des apports des mathématiques.

Lorsqu'on l'interroge sur la motivation derrière cette étude, Amandine Aftalion dit que son amour pour les mathématiques et le sport (elle pratique régulièrement la natation) l'a convaincue qu'on pouvait utiliser des équations mathématiques pour améliorer la physiologie humaine et atteindre une performance athlétique optimale !

Atteindre une performance athlétique optimale !

Afin de mener à bien leur étude, les mathématiciens ont choisi un sport relativement simple, la course à pied. Ils modélisent mathématiquement une course à l'aide d'équations différentielles, les résolvent et ainsi prédisent une stratégie optimale pour courir une distance donnée en un minimum de temps. Leur modèle prend en compte des paramètres physiologiques du coureur, tels que la consommation maximale d'oxygène et l'énergie totale anaérobie disponible, et implique plusieurs équations différentielles couplant les variables externes au coureur : la vitesse, la force de propulsion, les forces de frottement, et l'énergie anaérobie que le corps utilise en cas de déficit d'oxygène.

Ce modèle est construit sur un ancien modèle développé par le célèbre mathématicien Joseph Keller il y a près de quarante ans. Keller, coureur passionné lui-même, a d'ailleurs reçu le prix Ig Nobel en 2010, pour sa contribution mathématique sur la question de savoir pourquoi la queue de cheval d'un coureur balance de droite à gauche alors que sa tête va de haut en bas !

Le modèle de Keller faisait l'hypothèse que lors d'une course, un athlète devait maintenir sa vitesse constante pour atteindre des performances optimales. Le modèle d'A. Aftalion et F. Bonnans, lui, suppose la vitesse variable. C'est un fait bien connu des sportifs : faire varier sa vitesse permet de mieux dépenser son énergie et de courir plus longtemps.

Maintenant, comment les scientifiques résolvent-ils un système non-linéaire d'équations différentielles ? Évidemment, comme les équations font intervenir plusieurs paramètres et sont couplées, ce n'est pas exactement le type d'équation que vous avez appris à l'école. Mais l'utilisation d'un « solveur » de contrôle optimal développé par une équipe de l'INRIA (Institut français de recherche en informatique et automatique) a permis d'obtenir une solution numérique complète. En particulier, cela donne accès à la vitesse et à la dépense énergétique à chaque instant de la course.

De plus, il est maintenant possible d'identifier les paramètres physiologiques grâce à des mesures prises à distances régulières dans la course, dès qu'on a une bonne estimation de la consommation maximale d'oxygène. Cela est suffisant pour faire fonctionner le programme et pour prévoir une course idéale. L'outil peut prédire comment une amélioration de l'absorption maximale d'oxygène ou d'énergie anaérobie totale peut améliorer ou modifier la vitesse, les temps intermédiaires et le nombre de calories perdues dans la course. Il peut également donner des indications pour mieux courir en montée, en descente ou contre le vent. Les prédictions correspondent étroitement aux stratégies réelles utilisées par les athlètes professionnels. Cet outil, combiné à la technologie moderne, pourra être utile aussi bien à un semi-professionnel, pour l'aider à améliorer sa performance, qu'à un coureur amateur, qui n'a pas de coach mais qui a besoin de conseils sportifs personnalisés, mais aussi à un coureur du dimanche, qui veut connaître le nombre exact de calories dépensées dans la course pour optimiser sa perte de poids.

L'étude a commencé avec des stratégies de course à pied, mais l'objectif d'Amandine Aftalion et de Frédéric Bonnans est d'adapter le modèle à d'autres sports d'endurance, comme le cyclisme, la natation, le triathlon ou le ski de fond.

Un nouveau modèle mathématique explique pourquoi les hipsters se ressemblent tous.

Jonathan Touboul, chercheur au Collège de France, a montré pourquoi les hipsters, ces anticonformistes contemporains, finissent par se ressembler un peu tous.

Dans l'article intitulé « L'effet hipster : quand tous les anticonformistes finissent par se ressembler » récemment paru sur arXiv, J. Touboul explique mathématiquement pourquoi les hipsters, essayant toujours d'être différents, finissent par faire tous la même chose en même temps et à la fin se ressemblent.

Pour décrire les hipsters, Touboul fait référence à un modèle classique de la physique statistique, les verres de spin, en considérant une population d'individus en mesure de prendre des décisions. Ces décisions peuvent être prises soit en conformité ou contre la majorité de la population. Les hipsters, en agissant par pur esprit de contradiction, choisissent toujours le contraire de ce que fait la majorité.

Le modèle prend en considération le délai nécessaire à l'information pour être communiquée, c'est-à-dire le retard des hipsters à enregistrer les décisions des autres. En fait, s'ils savaient immédiatement les modes du moment ou les décisions prises par la majorité de la population, alors le modèle ne serait en mesure de représenter aucune structure particulière de cette composante « alternative » de la société. Mais dans le monde réel il est impossible de connaître les décisions des autres en temps réel, cela prend forcément un peu de temps.

Pour décrire les hipsters, un modèle classique de la physique statistique

C'est précisément à cause de ce retard que les alternatifs peuvent se synchroniser par inadvertance avec les autres. En considérant le retard et le choix fait par le propre réseau des connaissances, les décisions initiales des hipsters vont se synchroniser, car tous sont enclins à choisir la même chose.

Le modèle montre comment, contrairement aux systèmes coopératifs, une population d'individus prenant des décisions à l'encontre de la majorité subit des transitions de phase. Lorsque les hipsters sont trop lents pour détecter les tendances, ils continuent à faire les mêmes choix et restent donc en corrélation, tandis que leur tendance évolue dans le temps comme une fonction périodique. Cela est vrai lorsque la majorité de la population est constituée d'hipsters. Sinon, les hipsters seront, encore une fois, en grande partie alignés, vers une direction constante en opposition aux choix traditionnels.

L'auteur de l'étude explique enfin que l'intérêt de sa recherche dépasse la question des hipsters. En effet, cette étude peut avoir des implications importantes dans la compréhension de la dynamique des réseaux des circuits d'inhibition du cerveau, les stratégies d'investissement en finance ou la compréhension des dynamiques émergentes dans les sciences sociales ; domaines dans lesquels des retards de communication et la géométrie des systèmes semblent être décisif.

Alphabet : G comme Gradient

Tout phénomène naturel a lieu à cause de la présence d'un gradient. Un gradient topographique (avec de la pluie) génère une rivière et un gradient d'énergie élastique, accumulée petit à petit à l'intérieur de la croûte terrestre, est responsable d'un tremblement de terre. Quand nous faisons les courses au rayon de fruits et légumes du supermarché, nous gelons : c'est la faute du gradient de température. Quand nous en sortons, nous avons l'impression de crever de chaud. Encore la faute au gradient, seul responsable de cette variation thermique.

Il y a plusieurs façons de mesurer le changement des choses et, concernant le gradient, la question est relative. Le choc thermique que nous subissons en faisant les courses est dû au fait que hors du supermarché il y a trente degrés à l'ombre et, passé la porte, la température passe rapidement a quinze degrés. Un saut de quinze degrés en quelques mètres. Changement, oui, mais rapide. Ou encore plus précisément, changement raide. Ce que nous mesurons, ce n'est pas la différence absolue entre deux valeurs, mais la différence relativement à la longueur de la distance parcourue en cette transition. Il s'agit d'un rapport entre dimensions : saut de température divisé par la distance parcourue.

Qui y voit une similitude avec le concept de dérivée est sur la bonne route : le gradient est, pratiquement, une dérivée. Mais avec une différence : tandis que la dérivée détermine la pente d'une courbe et nous restreint à un parcours unidimensionnel, le gradient a la liberté d'un déplacement bien plus grand.

Revenons à l'exemple de la température. Imaginons une pièce et, pour simplifier, arrêtons l'avancement du temps. À chaque point de la pièce on peut y associer sa valeur de température. Près des chauffages (allumés si on est en hiver) la température est élevée, près des fenêtres (ouvertes... même en hiver !) elle est basse. En considérant un point de départ dans la pièce, nous pouvons déterminer plusieurs directions de déplacement (en haut, en bas, à droite, à gauche, en diagonale, transversalement, ...) et pour chacune d'entre elles il est possible de déterminer le rapport correspondant entre la variation de température et la distance parcourue. Ainsi et en passant à la limite dans les longueurs des distances au dénominateur, à chaque point de la pièce est associé un objet mystérieux qui codifie la rapidité des changements thermiques selon la direction de déplacement.

En mathématiques l'objet mystérieux a un nom précis, il s'appelle "différentielle", et il vit dans le monde de l'Algèbre Linéaire. Pour un miracle du monde qui nous entoure, il est possible de décrire cette fantomatique différentielle par une quantité plus facile à manipuler : le gradient. Dans l'exemple précédent, en chaque point (de la pièce), le gradient (de température) est identifié à un vecteur dont la direction correspond à celle de variation maximale, et la longueur décrit la rapidité de variation (de température). Notre pièce est ainsi peuplée de vecteurs qui, point par point, indiquent selon quelle direction nous devons nous déplacer si nous cherchons un endroit plus chaud.

Une fois l'objet défini – dont le symbole est un triangle isocèle à tête en bas, appelé "nabla" à cause d'une ressemblance avec un type d'harpe de la Grèce antique - et le concept formalisé, l'amusement est garanti. Laissant à nouveau le temps s'écouler, et faisant confiance à Jean-Baptiste Fourier, nous pouvons supposer que la chaleur se déplace dans la pièce selon la direction opposée à celle indiquée par le gradient, donc dans la direction de variation maximale de température et du chaud vers le froid. Utilisant papier et stylo pour compléter le bilan de quantités en jeu, nous retrouvons la célèbre "équation de la chaleur" qui décrit l'évolution des conditions thermiques de la pièce à partir de maintenant jusqu'à la fin des jours.

De la même façon, de nombreux autres modèles existent dans lesquels les variations temporelles d'une quantité observée sont guidées par un gradient. Avec un seul mot et un seul instrument nous pouvons jouer des musiques apparemment différentes : le déplacement de charges électriques (loi d'Ohm), l'hydraulique et la construction des fontaines de Dijon (loi de Darcy), le transport de masse (loi de Fick), etc. Les contextes, les problèmes et les significations physiques changent, mais au bout du compte il s'agit toujours de la mélodie du gradient.

Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l'autorisation de l'auteur.

Améliorer ses performances de course à pied...grâce à des équations mathématiques !

Un nouveau modèle mathématique explique pourquoi les hipsters se ressemblent tous

Alphabet : G comme Gradient

Vie de Mathématicien(ne) : Julie Antic

Le questionnaire de Proust : Virginie Bonnaillie-Noël

Brèves

Enigme

Brèves

Les mathématiques cachées dans Google !

En tapant des formules sur le moteur de recherche, on obtient leur représentation graphique ! Si vous avez envie d'essayer, voici des idées !

S'amuser avec les maths grâce au bridge !

C'est l'idée d'un prof du collège Montaigne, à Poix-du-Nord.

Les maths utilisées pour traiter le jeu pathologique

Des chercheurs australiens utilisent les maths pour montrer aux joueurs compulsifs la probabilité de gagner.

MOOC

Le premier cours MOOC sur la théorie des équations différentielles vient de commencer. Découvrez cette théorie grâce au cours en ligne ouverts à tous de Cédric Villani, médaillé Fields français, et du professeur sénégalais Diarra Seck.

L'histoire de Alan Turing

L'histoire de Alan Turing, le mathématicien britannique qui a décodé l'inviolable machine de cryptage allemande « Enigma », enfin racontée dans le film « Imitation Game » !

The Theory of Everything

Le film biographique « Une merveilleuse histoire du temps » (The Theory of Everything), tout juste sorti, narre la vie du physicien et cosmologiste Stephen Hawking.

Pi-day

Comme chaque année en la date du 14 mars (03/14), les aficionados célèbrent le mystérieux nombre Pi.

Revue de presse

Découvrez comment les mathématiques apparaissent dans les médias au travers de la revue de presse proposée par Images des Maths.

Enigme

Réponse à l'énigme de la lettre précédente ici

Au secours de la sonde Philae

Plusieurs rebonds ont été nécessaires à la sonde Philae pour se poser sur la comète Tchouri. Sa position n'est alors pas connue avec certitude...

Découvrez l'intégralité de l'énoncé ici !

Réponse au prochain numéro.

Vie de Mathématicien(ne) : Julie Antic

Que font les mathématiciens ? Julie Antic s'exprime sur le sujet à travers une interview que nous lui avons proposée.

Le questionnaire de Proust : Virginie Bonnaillie-Noël

Virginie Bonnaillie-Noël est Directrice de recherche au CNRS au département de mathématiques et applications de l'Ecole normale supérieure depuis 2014. Elle a été faite Chevalier de l'Ordre National du Mérite en 2011 et a reçu le prix Irène Joliot-Curie en 2009. Elle a reçu également la médaille de bronze du CNRS en 2008. Ses travaux de recherche portent notamment sur les supraconducteurs, l'équation de Schrödinger, les équations de Navier en utilisant l'analyse asymptotique, l'optimisation ou les simulations numériques.