Faut-il être un génie pour faire des maths ?

Directement du blog de Terence Tao, un des meilleurs mathématiciens de nos jours et Médaille Fields en 2006, une opinion sur un problème qui souvent décourage les gens de faire des mathématiques.

La réponse est non, absolument pas. Apporter des contributions belles et utiles aux mathématiques nécessite de beaucoup travailler, de se spécialiser dans un domaine, d'apprendre des choses dans d'autres domaines, de poser des questions, de parler aux autres mathématiciens, et de réfléchir aux grandes lignes du paysage mathématique considéré. Et oui bien sûr, une intelligence raisonnable, de la patience, de la matûrité sont aussi nécessaires. Mais en aucun cas on aurait besoin de posséder une sorte de gène magique du génie mathématique ou d'autres super-pouvoirs, qui inspireraient spontanément, et à partir de rien, des idées profondes ou des solutions totalement inattendues à des problèmes.

L'image du génie solitaire est complètement à côté de la plaque

L'image d'Epinal du génie solitaire (et sans doute complètement fou) - qui ignore tout de la littérature et des autres connaissances conventionnelles et qui parvient par je ne sais quelle inspiration inexplicable (gonflée sans doute par un brin de souffrance exaltée) à trouver une solution à couper le souffle à un problème qui jusque là déroutait tous les experts - est charmante et romantique, mais elle est complètement à côté de la plaque, du moins dans le monde des mathématiques modernes. Certes, il arrive parfois qu'il y ait des résultats et des idées spectaculaires, profondes et remarquables, bien sûr, mais ils sont arrachés aux années, aux décennies ou même aux siècles de travail régulier et d'avancées de beaucoup de grands mathématiciens : passer d'une étape de compréhension à la suivante peut être hautement non-trivial, et parfois même plutôt inattendu, mais quoi qu'il en soit, cela repose plus sur la fondation de travaux antérieurs que sur du totalement neuf (par exemple c'est le cas pour le travail de Wiles sur le dernier théorème de Fermat , ou celui de Perelman sur la conjecture de Poincaré ). En fait, je trouve que la réalité de la recherche mathématique aujourd'hui - dans laquelle les avancées se font naturellement comme l'aboutissement de dures années de travail, dirigées par l'intuition, la littérature, et un poil de chance - est bien plus satisfaisante que l'idée romantique que j'en avais autrefois étant étudiant en mathématiques, progressant essentiellement grâce aux inspirations mystiques de quelques rares lignées de "génies". Ce "culte du génie", de fait, pose un certain nombre de problèmes, puisque personne n'est capable de produire ces (très rares) inspirations sur quelque sujet que ce soit avec un taux d'erreur correct. (Si quelqu'un prétend le contraire, je vous recommanderais le plus grand scepticisme.) Essayer de se comporter de cette impossible manière peut rendre certaines personnes excessivement obsédées par les "grands problèmes" ou les "grandes théories", elle peut faire perdre à d'autres le sain scepticisme sur leur propre travail ou sur leurs outils, et elle peut décourager d'autres encore de travailler dans les mathématiques. De plus, attribuer le succès au seul talent inné (qui est hors contrôle) plus que sur l'effort, l'organisation, la formation (qui sont sous contrôle) peut aboutir à d'autres problèmes encore.

C'est une erreur courante de confondre qualité absolue et qualité comparée

Bien sûr, même si on rejette la notion de génie, on ne peut pas nier le fait qu'à chaque instant, certains mathématiciens sont plus rapides, plus expérimentés, plus érudits, plus efficaces, plus soigneux, ou plus créatifs que d'autres. Pourtant, cela n'implique pas que seuls devraient faire des mathématiques les mathématiciens les meilleurs ; c'est une erreur courante de confondre qualité absolue et qualité comparée. Le nombre de domaines intéressants de recherche mathématique et de problèmes à résoudre est vaste - bien plus vaste que ce qui pourrait être couvert en détail par les seuls mathématiciens les "meilleurs", et parfois les outils et les idées que l'on peut avoir parviennent à trouver quelque chose que les autres bons mathématiciens auraient regardé de trop loin, sans compter sur le fait que même les plus grands mathématiciens ont toujours des faiblesses dans certains aspects de leur recherche mathématique. À partir du moment où l'on a une formation, de la motivation, et du talent en quantité raisonnable, il y aura toujours une part des mathématiques où l'on pourra faire une contribution solide et utile. Il se peut que ce ne soit pas la partie des mathématiques la plus prestigieuse, mais en fait ça a tendance à être plutôt sain ; dans pas mal de cas l'application d'une technique ordinaire dans un certain sujet peut s'avérer être en fait plus importante que les sujets à la toute pointe. Aussi, il est nécessaire de commencer à se faire les dents sur les parties moins glamour d'un domaine avant de se lancer dans de quelconques recherches sur les problèmes connus ; jetez un oeil sur les premières publications de n'importe quel grand mathématicien d'aujourd'hui et vous comprendrez ce que je veux dire.

L'excès de pur talent peut finir par être dangereux

Dans certains cas, assez paradoxalement, l'excès de pur talent peut finir par être dangereux dans le développement mathématique de certains chercheurs à long terme ; si les solutions des problèmes viennent trop facilement, par exemple, on peut alors mettre trop peu d'énergie à travailler dur, à poser des questions naïves, ou à élargir son champ de connaissance, et cela peut entraîner la stagnation des compétences. Aussi, si on est habitué au succès facile, sans doute ne développe-t-on pas la patience nécessaire pour s'attaquer aux problèmes vraiment difficiles. Le talent est important, bien sûr; mais savoir le développer et le nourrir est encore plus important. Il est bon aussi de se souvenir que les mathématiques, au niveau professionnel, ne sont pas un sport (contrairement aux compétitions de mathématiques). L'enjeu en mathématiques n'est pas d'obtenir le meilleur classement, la meilleure note, ou le plus grand nombre de prix et de récompenses; mais c'est plutôt d'accroître sa compréhension des mathématiques (à la fois pour soi-même, pour les collègues et pour les étudiants), et de contribuer à son développement et à ses applications. Pour tout cela, les mathématiques ont besoin de toutes les bonnes volontés possibles.

Traduit à partir de la version originale en anglais avec l'autorisation de l'auteur.

Vie de mathématicien(ne) : Erwan Le Pennec

Que font-les mathématiciens ? Erwan Le Pennec s'exprime sur le sujet à travers une interview que nous lui avons proposée. Il est chargé de recherche d'INRIA et co-fondateur de l’entreprise Let it Wave pour le traitement des signaux et des images.

Retrouvez Erwan Le Pennec dans la vidéo du Prix Fondation EADS 2007 (à la min 1'52)

L'Alphabet : A comme APPROXIMATION

On dit que les mathématiques sont la science EXACTE par excellence. Cependant, très souvent en mathématiques, il arrive de travailler avec des quantités qui ne sont pas déterminées de façon exacte et le problème principal est de contrôler l'erreur que l'on commet.

La situation typique est quand on a un problème qu'on ne sait pas résoudre et dont on sait trouver une solution approchée. En d'autres termes, on ne connaît pas la solution, mais on sait en déterminer une version raisonnablement similaire, en donnant (précisément !) un sens à cette similarité.

Un exemple simple pour comprendre ce concept est le calcul d'une surface. Supposons que l'on soit tous d'accord sur le fait que la surface d'un rectangle est donnée par la formule "base fois hauteur". Comment calculer la surface d'une forme qui ne soit pas rectangulaire ? Sans espoir ! (ou presque ...). Une première approche possible est celle de déterminer des approximations de la surface cherchée. Par exemple, la surface du domaine sera sûrement supérieure à la surface d'un rectangle qu'il contient. Et l'aire du rectangle est connue ! Donc on a déjà obtenu une estimation par défaut de la surface cherchée. De combien cette valeur est différente de celle qu'on cherche réellement ? Avec seulement cette donnée on ne peut rien dire. Mais, avec un petit peu plus d'imagination, on peut imaginer emboîter le domaine dans un rectangle (connu) qui le contient. Avec les estimations par le haut et par le bas on peut ainsi contrôler l'erreur d'approximation, qui est plus petite ou égale à la différence des surfaces de deux rectangles (le contenant et contenu).

On a ainsi une valeur approchée de la surface et une estimation de l'erreur commise. Cependant, il se peut que l'erreur commise soit trop grossière et que l'on ait besoin d'une estimation plus précise. Comment faire ? Dans le problème de la surface il y a deux raisonnements possibles. Le premier est d'agrandir le rectangle contenu et rétrécir le contenant. Cette stratégie est efficace, mais on se rend vite compte qu'on va pas assez loin ainsi. La deuxième façon est plus subtile : si on connaît la surface d'un rectangle, on connaît aussi la surface du domaine composé de deux, trois, quatre, une famille de rectangles ! On peut donc améliorer l'approximation par défaut en ajoutant au précédent rectangle contenu dans le domaine un autre rectangle. Et ainsi de suite. Pour l'approximation par le haut il faudra, bien sûr, enlever des rectangles. Ainsi on obtient des domaines approchant de plus en plus le domaine initial, et on détermine une approximation de la surface. L'erreur commise est toujours donnée par la différence des surfaces des domaines approchants, et donc elle s'améliore à chaque pas.

Il existe un très grand nombre de situations pour lesquelles de tels procédés d'approximation sont nécessaires. Il est impossible d'en faire une liste. Une thématique pour laquelle l'approximation est importante est celle de l'analyse numérique qui, grosso modo, s'intéresse à des approximations de modèles appliqués, traduit en équations mathématiques, par le biais de calculateurs. Par exemple, il existe un modèle de propagation des influx nerveux dû à Hodgkin et Huxley (prix Nobel en médecine dans les années 60). Ce modèle a une traduction mathématique précise, dont il n'est pas évident de trouver une solution explicite.

Comment faire ? Utiliser un ordinateur est une très bonne stratégie... Il faut alors approcher le modèle avec une version qui soit comprise par l'ordinateur. Une fois calculée la solution numérique approchée il est essentiel d'en établir l'erreur. C'est comme si on suppose que l'ordinateur ne sait que calculer des surfaces de rectangles et qu'on veut l'utiliser pour déterminer l'approximation de surfaces de domaines quelconques.

En définitive, qu'est ce que ça veut dire approximer ? S'approcher ... Mais le concept de voisinage est relatif. Donc, selon le critère de voisinage (autrement dit selon les différentes façons de calculer l'erreur commise), il peut y avoir différentes voies d'approximation. C'est un peu ce qui arrive dans l'art : qui peut affirmer qu'une peinture de Picasso représente moins la réalité qu'une photo ? Voies différentes, techniques différentes, peuvent cadrer des aspects différents de la réalité qui nous entoure.

Traduit à partir de la version originale en italien de Corrado Mascia avec l'autorisation de l'auteur.

La «fièvre Bieber» est plus contagieuse que la rougeole !

Selon une étude récente, le succès du chanteur canadien se propage chez les jeunes du monde entier comme une vraie maladie.

Une étude, menée par une équipe de l'Université d'Ottawa qui étudie la propagation des maladies infectieuses, suggère que la «fièvre Bieber» peut être considérée comme la maladie la plus contagieuse de notre temps, capable d'infecter toute une génération de jeunes. En outre, les modèles mathématiques prédisent que cette maladie ne peut être éradiquée rapidement. En effet, selon les auteurs, seule une forte dose de «l'effet Lindsay Lohan» – c'est-à-dire une intense publicité négative – pourrait faire disparaître l'obsession généralisée pour la méga-star Justin Bieber.

«Les journaux à scandale sont sans doute notre dernier espoir contre une infection complète et apocalyptique», ont affirmé Valerie Tweedle, étudiante, et son professeur Robert J. Smith? (ce n'est pas une faute de frappe, Smith? a changé son nom pour se distinguer des nombreux homonymes présents dans le monde de la recherche), dans un chapitre du livre «Comprendre la dynamique des maladies infectieuses émergentes et ré-émergentes à l'aide de modèles mathématiques».
Comme toutes les autres maladies, la fièvre Bieber a ses propres symptômes : pleurs ou cris incontrôlables, achat excessif de souvenirs, distraction dans la vie quotidienne et imitation de la coiffure de Bieber.
Mais comment s'est propagée cette maladie Bieber ? «Grâce à une exposition constante, la fièvre Bieber a été incubée et s'est propagée. Des millions de personnes ont déjà été infectées, et d'autres sont en danger chaque jour. Il est nécessaire d'agir en urgence», ont déclaré les auteurs. Une intervention d'urgence est-elle vraiment nécessaire ?

Des millions de personnes déjà infectées...!

Peut-être que non. En réalité, l'étude est un exercice de modélisation de la croissance phénoménale de la popularité de Bieber – comme en témoigne le nombre de citations sur Twitter et de recherches sur Google – en utilisant des techniques propres aux maladies infectieuses. Le travail de Tweedle, sur lequel le chapitre se fonde, a obtenu un A+ dans le cours de Smith?. Les deux chercheurs, cependant, ne suggèrent pas aux jeunes – ou leurs parents – du monde entier de se protéger contre Bieber, et ne tentent pas de réduire sa réputation avec une campagne de dénigrement. En fait, l'étude a révélé que ce qui a poussé la «Bieber-mania» au niveau de fièvre est une stratégie publicitaire spécifique : en effet l'attention suscitée par des événements, comme le lancement d'un CD ou d'une nouvelle coupe de cheveux, est suivie d'une pause, suivie à son tour par d'autres nouvelles sur le jeune homme. Le travail suggère qu'une «Bieber surexposition constante» conduirait probablement à une baisse de sa popularité.
« Si Bieber était sur toutes les couvertures tous les mois, les gens finiraient par penser: « J'en ai assez de Bieber. Il est partout ! » Smith? dit : «Mais si les nouvelles et les pics de publicité sont alternés avec des moments de pause, il peut durer presque indéfiniment. Évidemment, ce n'est pas formellement une maladie, mais il en a toutes les caractéristiques, et se comporte comme telle.»
Smith? a récemment visité une classe d'une école primaire, où chaque enfant de neuf ans connaissait Justin Bieber et tous, sauf un, l'aimait comme chanteur. Il a également passé du temps au Sénégal en Avril, pour enseigner les mathématiques à des étudiants de master. Dans ce cas, l'ensemble de ses élèves africains connaissaient Bieber. Smith? conclut en disant: «Maintenant nous avons tous cette langue commune ... nous parlons tous Bieber».

Le questionnaire de Proust : Maria J. Esteban

À la fin du XIXe siècle, l'adolescent Marcel Proust découvre dans un album en anglais de sa camarade Antoinette Faure, fille du futur président Félix Faure, le test devenu célèbre comme «questionnaire de Proust».
À cette époque, ce genre de jeu était en vogue dans les grandes familles françaises : il consistait en une série de questions sur les goûts et les aspirations.
Nous avons modifié les questions du test en «sens mathématiques» et à chaque nouvelle lettre un(e) mathématicien(ne) répondra aux questions de notre «questionnaire de Proust version maths».

Dans cette première lettre on propose le questionnaire de Proust à Maria J. Esteban, directrice de recherche au C.N.R.S., affectée au CEREMADE (Univ. Paris-Dauphine) et ex-présidente de la SMAI, la Société des Mathématiques Appliquées et Industrielles.

Retrouvez Maria Esteban dans la vidéo du Forum Emploi Maths (à la min 4'36)

Quand les mathématiques sont un cauchemar... le cerveau se détraque !

Tout le monde a probablement paniqué au moins une fois dans sa vie devant un exercice de mathématiques très difficile. Durant un examen ou un contrôle en classe, une part d'anxiété s'installe et notre esprit finit par ne plus être très lucide. Une étude américaine a expliqué pourquoi.

Beaucoup de gens éprouvent des difficultés dans l'étude des mathématiques, difficultés qui souvent engendrent une véritable terreur dans cette matière. Quand les mathématiques sont un cauchemar, le cerveau perd sa lucidité comme s'il était en proie à une phobie, semblable à celle des serpents ou des araignées. Une étude américaine, dirigée par Vinod Menon de Stanford University School of Medicine, a en effet démontré que le cerveau d'une personne pour qui la résolution d'exercices de mathématiques est un cauchemar, se détraque. En fait, dans ces cas, les zones du cerveau liées à la peur et aux émotions s'hyperactivent et, en même temps, inhibent celle de la rationalité et du calcul qui régissent la capacité à résoudre des problèmes. Les conséquences évidentes sont la perte de lucidité et un sentiment croissant d'anxiété.

Phobie des maths !

Les experts ont d'abord mesuré le QI et les capacités cognitives d'un groupe d'enfants de 7-9 ans et ont évalué au moyen de questionnaires ad hoc lesquels d'entre eux avaient "peur des mathématiques". Puis ils les ont soumis à de simples tests d'arithmétique, pendant que leur cerveau était analysé par résonance magnétique. Au cours de l'exécution des opérations, le cerveau des enfants ayant le cauchemar des mathématiques était dominé par l'anxiété et la peur avec une hyperactivation au niveau des amygdales. En même temps, les zones dédiées à la résolution des problèmes marchaient moins bien. L'étude, publiée dans la revue "Psychological Science", a ainsi démontré qu'en quelque sorte les centres de la peur détraquent la rationalité et la capacité de calcul et en effet, à même QI et compétences mathématiques, les enfants phobiques ont une performance beaucoup plus basse aux tests de calcul auxquels ils sont soumis. Selon les chercheurs américains la phobie des mathématiques pourrait donc être traitée avec des interventions ciblées, comme nous le faisons aujourd'hui pour d'autres phobies.