Journées MAS 2010

Systèmes à une infinité de particules en interaction et applications (pdf)

Session organisée par Ellen Saada (CNRS, MAP5, Université Paris Descartes)

Les systèmes à une infinité de particules en interaction sont des processus de Markov qui décrivent l'évolution de particules indistinguables soumises à une interaction forte (le taux de saut infinitésimal est une fonction locale). On étudie les systèmes à l'équilibre et hors équilibre. Le modèle crucial qu'est l'exclusion simple permet l'analyse de phénomènes physiques hors équilibre (voir exposés de C. Bahadoran, M. Jara, V. Lecomte). les modèles de type réaction diffusion ou processus de contact avec migrations permettent de construire des modèles de propagations d'épidémies avec structure spatiale qui a souvent fait défaut jusque là pour l'analyse de phénomènes biologiques (exposé de D. Borrello). Ces études soulèvent des questions probabilistes complexes.

Exposé de 40 minutes Christophe Bahadoran (Université Clermont Ferrand) Quasi potentiel pour l'exclusion simple asymétrique transparents

On s'intéresse aux processus de type exclusion simple couplés à deux réservoirs de particules de densités différentes. Les états stationnaires de tels systèmes présentent des corrélations à longue portée, dont une signature est le caractère non local de la fonctionnelle de grandes déviations Ce type de fonctionnelle a été obtenu par des méthodes explicites (Derrida et al.); puis retrouvé de manière plus générale comme quasi-potentiel (Bertini et al.), mais uniquement dans le cas symétrique. Nous étudions la seconde approche dans le cas asymétrique, qui a pour particularité de reposer sur une fonctionnelle de grandes déviations dynamiques très singulière (Jensen et Varadhan).

Exposé de 20 minutes Hervé Guiol (Laboratoire TIMC-IMAG - Equipe TIMB) A stochastic model of evolution transparents

We propose a stochastic model for evolution. Births and deaths of species occur with constant probabilities. Each new species is associated with a fitness sampled from the uniform distribution on [0,1]. Every time there is a death event then the type that is killed is the one with the smallest fitness. We show that there is a sharp phase transition when the birth probability is larger than the death probability. The set of species with fitness higher than a certain critical value approach an uniform distribution. On the other hand all the species with fitness less than the critical disappear after a finite (random) time.

Exposé de 20 minutes Vivien Lecomte (NRS, LPMA, Universités Paris 6-7) Correspondance équilibre hors-équilibre dans les modèles de transport unidimensionnels transparents

Les systèmes de particules en interaction fournissent un cadre idéal pour étudier les états stationnaires hors d'équilibre. Leur dynamique est décrite par un opérateur d'évolution, et l'on peut calculer certaines fonctions de grandes déviations en déterminant la valeur propre maximale d'un opérateur d'évolution modifié. Nous chercherons à caractériser ses singularités - qui correspondent à des transitions de phase dynamiques. De manière surprenante, il est possible pour certaines classes de modèles conduits hors d'équilibre par les bords, de construire une correspondance qui ramène le système à l'équilibre. Cette correspondance - non-locale - apporte par exemple un éclairage nouveau sur les corrélations à longue portée présentes hors de l'équilibre.

Exposé de 20 minutes Franco Tertuliano (IMPA) Hydrodynamic limit for a type of exclusion processes with slow bonds in dimension greater than 2

Let Lambda be a connected closed region with smooth boundary contained in the d-dimensional continuous torus T^d. In the discrete torus N^{-1}T^d_N, we consider a nearest neighbor symmetric exclusion process where occupancies of neighboring sites are exchanged at rates depending on Lambda in the following way: if both sites are in Lambda or in its complement Lambda^C, the exchange rate is one; If one site is in Lambda and the other one is in Lambda^C and the direction of the bond connecting the sites is e_j, then the exchange rate is defined as N^{-1} times the absolute value of the inner product between e_j and the normal exterior vector to \partial\Lambda. We show that this exclusion type process has a non-trivial hydrodynamical behavior under diffusive scaling and, in the continuum limit, particles are not blocked or reflected by \partial\Lambda. Thus the model represents a system of particles under hard core interaction in the presence of a permeable membrane which slows down the passage of particles between two complementar regions.