Journées MAS 2010

Modèles probabilistes pour l'initiation et la propagation de fissures (pdf)

Session organisée par Anne Gégout-Petit (Université Bordeaux 2)

L'étude de la dégradation et du vieillissement des structures ou des matériels embarqués nécessite la modélisation de phénomènes mécaniques de fatigue. Cette modélisation conditionne les calculs de durées de vie et de probabilités d'occurrence d'événements redoutés et est donc particulièrement importante en ce qui concerne la sécurité. Même soumis à des régimes de fatigue contrôlés, les phénomènes d'initiation ou de propagation de fissures présentent un caractère aléatoire. La prise en compte de l'aspect stochastique dans les modélisations est donc incontournable et devient indispensable en ce qui concerne la fatigue sous chargement aléatoire. Les exposés de cette session présentent différentes modélisations stochastiques pour des problèmes de fissuration adaptés suivant le cas à l'initiation ou la propagation et à différents matériaux (aluminium, béton, revêtements,....). Les outils stochastiques développés sont divers et variés : modèles de régression multivariés, processus de Poisson, processus Gamma, processus markoviens déterministes par morceaux...

Exposé de 40 minutes Pierre Vallois (IECN, Nancy) en collaboration avec Pierre Calka et André Mezin Calcul de moments pour un réseau de fissures unidirectionnel

On considère un réseau de fissures sur un segment [0,L] et on suppose que le phénomène de fissuration a lieu sans relaxation de contrainte. La localisation de la i-ième fissure a lieu en X_i et est aléatoire. On peut montrer que le nombre \tau:=N^\epsilon([0,L]) de fissures se formant sur [0,L] est une v.a. de Poisson de paramètre LF(epsilon), où F(epsilon) est la probabilité de rupture lorsque la contrainte appliquée est epsilon. De plus, pour tout entier k, il a été calculé E\big(\widetilde{M}_{k,\tau}\big|\tau \geq 2\big), où
\widetilde{M}_{k,\tau}:=\frac{\widetilde{m}_{k,\tau}}{\big(\widetilde{m}_{1,\tau}\big)^k}
\widetilde{m}_{l,\tau}:=\frac{1}{\tau}\sum_{i=1}^{\tau -1}\big(X_{(i+1)}-X_{(i)}\big)^l, \quad (l\ entier),
et X_{(1)},...,X_{(\tau)} est le ré-arrangement croissant de X_1,...,X_\tau.
Il est en fait plus intéressant, d'un point de vue physique, de considérer le moment d'ordre k assocé à un nombre fixé n de fissures et de prendre en compte les "bords" (i.e. sommer dans de i=0 à i=n)
M_{k,n}:=\frac{(n+1)^{k-1}}{L^k}\sum_{i=0}^{n}\big(X_{(i+1)}-X_{(i)}\big)^k,
avec X_{(0)}:=0 et X_{(n+1)}:=L. On s'intéresse à la suite \big(M_{k,n}, n\geq 2\big). On calcule en particulier l'espérance et la variance de M_{k,n}. On étudie également la convergence au premier et au second ordre de \big(M_{k,n}, n\geq 2\big).

Exposé de 20 minutes Christian Paroissin (Université de Pau et des Pays de l'Adour) Temps d'atteinte pour un processus gamma non-homogène transparents

On considère le processus gamma non-homogène comme modèle de dégradations (propagation de fissures, etc.). Le problème de la loi du temps d'atteinte pour un tel processus est étudié ici. Deux cas sont considérés : d'abord, le cas d'un seuil constant déterministe ; ensuite, le cas d'un seuil aléatoire. Dans ce dernier cas, on donne une expression explicite dans le cas d'une approximation par une loi de type-phase (mélange de lois d'Erlang).

Exposé de 20 minutes Romain Azaïs (Université de Bordeaux) en collaboration avec Anne Gégout-Petit et Marie Touzet Modélisation de propagation de fissure par un processus markovien déterministe par morceaux transparents

On s'intéresse à un modèle de propagation de fissures fondé sur la loi déterministe de Paris-Erdogan.
\frac{da}{dN} = C (\Delta K)^m où \Delta K = \Delta \sigma F\Big( \frac{a}{\omega}\Big) \sqrt{\pi a}}
Une analyse des données de Virkler - propagation de fissures pré-initialisées dans des éprouvettes en aluminium 2024-T3 - montrent l'intérêt d'un modèle mêlant sauts aléatoires et flot déterministe pour ce problème.
On propose de modéliser la longueur d'une fissure dans les conditions de Virkler par un processus markovien déterministe par morceaux. Le flot déterministe est donné par la loi de Paris-Erdogan dont le couple de paramètres (m,C) est susceptible de varier aléatoirement lors d'au plus un instant de saut aléatoire.
Il est nécessaire de proposer pour définir complètement ce processus : l'espace d'états des paramètres et de la longueur de la fissure, la loi initiale des paramètres, le noyau de transition des paramètres ainsi que la loi de l'instant de saut. Ceci est fait en concordance avec les ajustements réalisés sur les données de Virkler.
A partir d'un petit nombre de mesures réalisées dans les premiers moments de l'expérience, on souhaiterait mieux prédire l'évolution d'une fissure donnée. On propose d'actualiser le modèle précédent en affinant l'espace d'états du processus ainsi que le noyau de transition des paramètres.