Journées MAS 2010

Matrices aléatoires et applications (pdf)

Session organisée par Mylène Maïda (Université Paris Sud)

L'étude des matrices aléatoires de grande taille et de leurs propriétés spectrales est devenu un champ très large des probabilités, en étroite interaction avec de nombreux domaines applicatifs. Pour se faire une idée de la diversité des outils mathématiques mis en jeu, on pourra consulter la récente monographie An Introduction to Random Matrices tandis que le projet The Oxford handbook of Random Matrix Theory recense des applications et des techniques d'étude, notamment issues de la physique.
Cette session sera l'occasion de présenter quelques aspects mathématiques de ce vaste sujet, comme l'étude des valeurs propres extrémales, les propriétés d'entrelacement ou les aspects dynamiques des modèles matriciels et permettra également d'évoquer les liens avec la théorie de l'information et les communications numériques.

Exposé de 40 minutes Catherine Donati Martin (Université Pierre et Marie Curie) en collaboration avec Mireille Capitaine et Delphine Féral Convergence et fluctuations des valeurs propres extrémales des matrices de Wigner déformées transparents

Nous étudions le spectre de matrices aléatoires de Wigner perturbée additivement par une matrice déterministe de rang fini. Si la déformation n'affecte pas la mesure spectrale limite (loi semicirculaire), le comportement asymptotique des valeurs propres extrémales dépend de la perturbation. En particulier, pour certaines perturbations, la valeur propre maximale de la matrice de Wigner déformée converge vers une limite hors du support de la loi semicirculaire. Nous présenterons aussi des résultats sur les fluctuations des valeurs propres extrémales.

Exposé de 20 minutes Pascal Bianchi (Télécom Paris Tech) en collaboration avec Mérouane Debbah, Mylène Maïda et Jamal Najim Analyse en grandes dimensions de tests d'hypothèses pour la détection d'émetteur transparents

Dans le cadre de la radio cognitive, on est amené à mettre en oeuvre des tests d'hypothèses permettant de détecter la présence d'une source inconnue dans un bruit thermique. On observe une série temporelle multivariée i.i.d. gaussienne, dont la dimension correspond au nombre de capteurs, et dont la matrice de covariance dépend de l'hypothèse considérée (H_1 : présence d'une source, H0 : bruit seul). Nous étudions le test du rapport de vraisemblance généralisé (GLRT). Le GLRT consiste à rejeter l'hypothèse nulle lorsque la plus grande valeur propre de la matrice de covariance empirique, normalisée par la trace, excède un seuil. Nous analysons la performance de ce test en termes de courbe ROC (Receiver Operating Characteristic) dans le cas où la dimension K de la série et le nombre N d'observations tendent vers l'infini, et où le rapport K/N tend vers une constante. En étudiant les grandes déviations de la valeur propre maximale de matrices aléatoires spiked, nous montrons que les erreurs de type I et II convergent exponentiellement vers zéro, et nous déterminons les exposants d'erreur. Avec les mêmes outils, nous évaluons les performances d'un test populaire en radio cognitive fondé sur le rapport des valeurs propres extrêmes et montrons que le GLRT est asymptotiquement uniformément plus puissant que ce dernier.

Exposé de 20 minutes Manon Defosseux (Université Paris 5 René Descartes) Matrices aléatoires et particules en interaction

De nombreux travaux font état de liens entre certains modèles de particules en interaction et des modèles de matrices aléatoires (cf. les travaux de Johansson, Okounkov et Reshetikhin etc.). Nous présenterons quelques résultats connus mettant en jeu des matrices aléatoires de loi unitairement invariante (GUE, LUE,...) ainsi que des généralisations à des modèles de matrices aléatoires de loi invariante par conjugaison par le groupe orthogonal ou symplectique (cf. Borodin, Warren etc.). Nous indiquerons comment ces derniers modèles sont liés à des modèles de particules en interaction avec mur.

Exposé de 20 minutes Edouard Maurel-Segala (Université Paris Sud) en collaboration avec Benoît Collins et Alice Guionnet Modèles matriciels unitaires

Nous présenterons dans cet exposé un travail réalisé avec Benoît Collins et Alice Guionnet sur le spectre de matrices unitaires en grande dimension. Notre but est d'étudier des modèles mêlant matrices déterministes et matrices unitaires dont la loi a une densité par rapport à la mesure de Haar. Nous verrons comment une étude générale de ces modèles peut être utilisé pour mieux comprendre l'intégrale d'Itzykson-Zuber, fondamentale dans les modèles à plusieurs matrices.