Propagation des incertitudes en dynamique des fluides compressibles.

Sujet proposé par le CEA/Bruyères (R.Sentis).
En dynamique des fluides, on sait que la propagation des chocs dépend des caractérististiques du fluide par l'intermédaire de l'équation d'état reliant la pression à l'énergie interne. L'objectif de ce travail est d'évaluer la sensibilité de la solution par rapport aux différents paramètres intervenant dans l'équation d'état ou dans le coefficient de conductivité thermique. Plus précisémment, on considère le système Euler compressible avec conduction thermique, où $\rho ,U,T$ désignent la densité, la vitesse et la température du fluide, l'énergie interne est donnée par $C_{v}T$ et l'énergie totale par $E=C_{v}T+%% \frac{1}{2}\vert U\vert^{2}.$ En géométrie 1D, il s'écrit

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla (\rho U) &=&0 \\ \... ...ial t}+\nabla (\rho UE)+\nabla (PU) &=&\nabla (kT^{n}\nabla T) \end{eqnarray*}$

On suppose que l'on a juxtaposition de 2 fluides (

), chacun étant caractérisé par une équation d'état de référence $%% P=(\gamma _{j}-1)\rho C_{v,j}T+q_{j}$ et une coefficient $k_{j}.$ Les 8 paramètres $\gamma _{j},C_{v,j},q_{j},k_{j}$ sont des données $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}...,\alpha _{8})$ entachées d'une certaine incertitude $(\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}...,\sigma _{8})$ . En supposant que les variations de ces 8 paramètres sont petites, on veut déterminer l'incertitude sur la solution du système au bout d'un temps fixé. Si on suppose que la variation $\mathbf{W}%% =(w_{1},w_{2},w_{3})$ de $(\rho ^{-1},U,E)$ sont petites, on est alors conduit au système linéarisé qui s'écrit

$\begin{displaymath} \rho (\frac{\partial }{\partial t}+U\nabla )\mathbf{W}+\nab... ...ac{\partial \mathbf{F}}{\partial \alpha _{m}}\alpha _{m})=0 \end{displaymath}$

(1)

Les fonctions

dépendent bien sûr de la solution de référence $(\rho ,U,T)$ et peuvent être discontinues. Il conviendra de vérifier que ce système est du même type que celui rencontré dans la littérature où on le traite avec des méthodes Lagrangiennes. Puis en s'aidant éventuellement d'un code déjà existant pour l'écoulement de base, il conviendra de résoudre numériquement le système (1) pour évaluer les incertitudes sur la solution.