Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles

20ème journée EDP/Probas

Jeux à champ moyen

vendredi 14 octobre 2016

10h-12h Pierre Cardaliaguet (Université Paris-Dauphine) : Introduction aux jeux à champ moyen

Les jeux à champ moyen s’intéressent aux problèmes d’optimisation en temps continu avec un grand nombre d’agents. Introduits par Lasry et Lions, ces modèles ont à voir à la fois avec les champs moyen (les individus, infinitésimaux, sont confrontés au champs moyen généré par l’ensemble des agents), avec les EDP (par exemple le modèle le plus simple peut être décrit en terme de couplage d’une équation de Hamilton-Jacobi avec une équation de Fokker-Planck), avec l’analyse stochastique (BSDEs ou EDPS), et avec la théorie des jeux (agents rationnels),...
Dans cet exposé, on expliquera dans un premier temps comment dériver heuristiquement le système MFG le plus simple (les résultats rigoureux de convergence étant discutés dans le second exposé de F. Delarue). On discutera les différents régimes d’existence et d’unicité : on verra, par exemple, que, dans certains régimes, le problème peut s’écrire sous une forme variationnelle proche des questions de transport optimal.

14h15-16h15 François Delarue (Université Nice-Sophia Antipolis) : Jeux à champ moyen avec bruit commun et "master equation"

Dans la première partie, nous aborderons les jeux à champ moyen avec bruit commun. Le bruit commun rend compte d’un forçage aléatoire, qui par opposition à des bruits idiosyncratiques affectant les joueurs indépendamment les uns des autres, s’applique à l’ensemble de la collectivité. Pour cette raison, le bruit commun est également appelé bruit systémique. Le cas échéant, les équilibres du jeu à champ moyen dépendent de la réalisation du bruit commun et sont eux-mêmes aléatoires. Nous discuterons la question de l’existence et de l’unicité de tels équilibres en reformulant de façon appropriée la propriété de point fixe des équilibres de Nash. En particulier, nous insisterons sur les difficultés soulevées par la présence du bruit commun.
Dans un deuxième temps, nous aborderons une formulation alternative des jeux à champ moyen, valable avec ou sans bruit commun. Nous montrerons en effet que les équilibres peuvent être compris au travers d’une équation aux dérivées partielles posée sur l’espace de Wasserstein, dont les caractéristiques sont données par le système Kolmogorov-Fokker-Planck/Hamilton-Jacobi-Bellman usuellement utilisé pour décrire les équilibres. Cette équation a été introduite par P.-L. Lions dans ses cours au collège de France et appelée "master equation". Nous discuterons la forme de cette équation et l’existence de solutions classiques. En conclusion, nous montrerons que les solutions classiques peuvent être utilisées, de façon à peu près systématique, pour établir la convergence des équilibres de Nash à nombre de joueurs finis vers la solution du problème asymptotique.
L’exposé s’appuiera principalement sur trois travaux en collaboration avec Carmona/Lacker, Chassagneux/Crisan et Cardaliaguet/Lasry/Lions.

La journée aura lieu dans l’amphithéâtre Hermite de l’Institut Henri Poincaré, 11 rue Pierre et Marie Curie, Paris 5ème (accès).


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