Journées MAS 2010

Séries chronologiques à valeurs entières (pdf)

Session organisée par Lionel Truquet (Université Rennes 1)

Lorsqu'une série ne prend qu'un nombre limité de valeurs entières, elle ne peut être approchée correctement par un modèle de séries chronologiques classiques à valeurs réelles. Les premiers modèles stochastiques à valeurs entières sont dus à McKenzie, Al-Osh et Alzaid. Ces modèles, appelés INAR (integer-valued autoregressive models) utilisent un opérateur d'amincissement basés sur des variables de Bernoulli. De par cet opérateur d'amincissement, ces modèles sont très restrictifs. Récemment, plusieurs auteurs ont proposés soit des extensions avec une dépendance plus complexe dans les variables de comptage, soit de nouveaux modèles à valeurs entières. Dans cette session, nous ferons une synthèse sur les approches existantes ainsi que des résulats très récents dans ce domaine.

Exposé de 40 minutes Lionel Truquet (Université Rennes 1) Modélisation autorégressive à coefficients aléatoires

Nous présenterons les différents modèles autorégressifs à valeurs entières positives introduits dans la littérature, leur structure de covariance, leur propriété de prévision ainsi les méthodes principales d'inférence.
Dans une deuxième partie de cet exposé, nous envisagerons la construction de séries à valeurs dans Z ainsi que la prédiction à l'aide de la variance conditionnelle en comparant l'hétéroscedasticité obtenue avec l'opérateur d'amincissement avec celle des modèles ARCH classiques.

Exposé de 20 minutes Maria Eduarda Silva (Faculdade de Economia, Universidade do Porto) Forecasting in INAR(1) model

In this work we consider the problem of forecasting integer-valued time series, modelled by the INAR(1) process introduced by McKenzie, Al-Osh and Alzaid. The theoretical properties and practical applications of INAR and related processes have been discussed extensively in the literature but there is still some discussion on the problem of producing coherent, i.e. integer-valued, predictions. Here Bayesian methodology is used to obtain point predictions as well as confidence intervals for future values of the process. The predictions thus obtained are compared with their classic counterparts. The proposed approaches are illustrated with a simulation study and a real example.

Exposé de 20 minutes Alain Latour (Laboratoire Jean-Kuntzmann) Approche par vraisemblance maximale dans la modélisation de processus ARCH à valeurs entières et à seuils

Dans le processus de surveillance des épidémies, les médecins doivent informer les autorités gouvernementales de tout nouveau cas de certaines maladies. Le SIDA, la rougeole et la méningite en sont des exemples. Les valeurs de ces séries sont entières et leur développement propre peut se faire de manières différentes à l'intérieur de certaines périodes.
Un critère parfois appliqué pour déclencher une alerte épidémiologique est que le nombre de cas observés est, de manière significative, plus élevé que la valeur prédite. Des modèles de prévisions fiables sont donc nécessaires afin de répondre adéquatement aux exigences imposées par le système de surveillance.
Nous proposons un modèle non-linéaire à valeurs entières afin de décrire le développement de certaines séries rencontrées en santé communautaire. Pour j=1...l, soit \mathbf{1}_{R_j}(.), la fonction indicatrice de l'ensemble
R_j = \left\{{k \in \mathbb{N} : r_{j-1} \le k < r_j}\right\}
où les entiers positifs {r_j}, j=0...l-1, sont tels que :
0 = r_0 < r_1 < \cdots \le r_{\ell-1} < r_\ell = \infty.
Nous considérons un processus satisfaisant, \forall t \in \mathbb{Z}, l'équation X_t=\sum\limits_{j=1}^\ell {\mathbf{1}_{R_j}(X_{t-d})}X^{(j)}_t
où,
\left\{ {\begin{array}{l} {\left. {X^{(j)}_t } \right|\mathcal F_{t - 1} : \mathcal P(\lambda^{(j)}_t);}\quad\forall\,t\in\mathbb{Z}, \\ \noalign{\vskip 5pt} {\lambda^{(j)} _t = \gamma^{(j)} _0 + \sum\limits_{i = 1}^q {\gamma^{(j)} _i X_{t - i} } } \end{array} } \right.
où \gamma_0>0, \gamma_i \geqslant 0, i=1,...,q.
Simplement décrit, ce processus est localement géré par l modèles différents, que nous appelons régimes. Ainsi, à l'instant t, les paramètres du modèle local sont déterminés par la valeur du processus à l'instant t-d. Lorsqu'il n'y a qu'un seul régime, nous avons un processus pour lequel l'estimation à vraisemblance conditionnelle maximale est relativement aisée.
Afin de simplifier la présentation, supposons que l=2. Nous transposerons des éléments de l'approche de Tsay en utilisant une approche basé sur la vraisemblance conditionnelle plutôt qu'une approche basée sur les moindres carrés. Dans un premier temps, utilisant les résultats de Latour, on détermine l'ordre du processus GInAr. Ensuite, par un test de rapport de vraisemblance, une méthodologie permettant de détecter la non-linéarité est envisagée. Advenant que l'hypothèse de linéarité soit rejetée, nous appliquons une procédure permettant de déterminer la valeur seuil. Par la suite, les modèles régissant les différents régimes sont raffinés. Finalement, nous verrons comment générer des intervalles de confiance pour les prévisions d'horizon 1.

Exposé de 20 minutes Maher Kachour (Université Rennes 1) Modèle autogressif à valeurs entières avec arrondi

Dans cet exposé, nous présentons une nouvelle classe de modèles autorégressifs à valeurs entières basés sur l'opérateur d'arrondi. Par rapport aux modèles INAR(p), ces modèles possèdent plusieurs avantages : une structure d'innovation plus simple; signes arbitraires pour les valeurs de la série, pour les coefficients autoregréssifs. Nous étudions d'abord les conditions de stationarité pour ces modèles. Ensuite, nous étudions l'estimation des paramètres par la méthode des moindres carrés conditionnels. Des applications aux séries réelles seront examinées.