Journées MAS et Journée en l'honneur de Jacques Neveu
31 août - 3 septembre 2010 à Bordeaux
Modélisation stochastique sur graphes et statistiques de la propagation d'épidémies (pdf)
Session organisée par Jean-Stéphane Dhersin (LAGA, Université Paris 13) et Elisabeta Vergu (INRA)
Cette session a pour objet l'approche probabiliste et statistique de l'épidémiologie. Elle se décompose en deux parties :
Exposé de 40 minutes Pierre-Yves Boelle (INSERM UMR-S 707) Estimation statistique et modélisation des maladies transmissibles
Un des domaines d'application de l'épidémiologie théorique est l'étude des maladies transmissibles par le biais de modèles mathématiques. L'utilisation de ces modèles à des fins prédictives, ou en outil de support aux décideurs de santé publique, nécessite que les paramètres inclus dans les modèles soient estimés à partir de données réelles. Dans cette présentation, les quantités classiques et leurs estimateurs seront présentés, ainsi que les approches plus récentes basées sur les statistiques intensives en calcul.
Exposé de 20 minutes Anton Camacho (ENS) Propagation d'épidémies et risque d'extinction stochastique
Dans les modèles stochastiques de propagation d'épidémies, il faut distinguer d'une part le régime transitoire qui décrit l'invasion et le maintien de l'agent infectieux dans la population, et d'autre part le régime stationnaire qui est caractérisé par des fluctuations de l'équilibre endémique. La dynamique de la probabilité d'extinction au temps t permet d'étudier l'existence de l'équilibre endémique stationnaire et donc de déterminer le risque que l'agent infectieux s'établisse durablement dans la population. Cette étude se fait généralement via des simulations de type Monte-Carlo nécessitant un grand nombre de réplications et donc très coûteuses en temps de calcul. Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux différentes approximations en grande population qui se proposent de remplacer ces simulations (les méthodes de clôture des moments, l'approximation de van Kampen, l'approximation par diffusion). Nous verrons dans quelle mesure elles permettent d'évaluer rapidement le risque d'extinction stochastique tout au long de la propagation de l'épidémie et donc de caractériser le passage de l'invasion à la persistance de l'agent infectieux.
Exposé de 20 minutes Viet Chi Tran (Université Lille 1) en collaboration avec Pascal Moyal, Laurent Decreusefond et Jean-Stéphane Dhersin Limite en grand graphe d'un processus SIR décrivant la propagation d'une épidemie sur un réseau
Nous considérons un modèle SIR décrivant la propagation d'une épidémie sur un graphe de configuration. Dans ces graphes, la distribution des degrés est donnée et les sommets sont appariés aléatoirement. Nous montrons que l'épidemie peut être résumée par trois équations à valeurs mesures, décrivant les distributions de degrés des susceptibles ainsi que les distributions des connexions entre infectieux ou retirés et susceptibles. La limite en grands graphes est considerée. En corollaire, nous prouvons de façon rigoureuse les équations obtenues par Volz (2008) qui modélisent de facon synthétique l'évolution de l'épidemie.
Exposé de 20 minutes Marc Lelarge (INRIA) Diffusions et cascades dans les graphes aléatoires
Motivé par la modélisation de diffusions de virus ou d'épidemies (avec une possible coordination parmi les agents), nous introduisons un modèle de diffusion qui généralise à la fois le processus de contact et la percolation 'bootstrap'. Nous analysons ce processus sur des graphes aléatoires dilués. Ceci nous permet de retrouver des résultats connus (taille de la composante géante, seuil de percolation) et nouveaux (condition de cascade). En particulier, nous étudions différentes vaccinations possibles des agents (qui ne demandent pas une connaissance a priori du graphe d'interaction) et nous quantifions leur efficacité. Les preuves reposent sur des idées de couplages développées récemment par Janson et Luczak.