Jean-François Le Gall (Université Paris 11 et Institut universitaire de France)

La carte brownienne, limite continue des grandes cartes planaires aléatoires transparents

Les cartes planaires sont des graphes plongés dans le plan et considérés à déformation continue près. Elles ont été étudiées en combinatoire et sont aussi utilisés en physique théorique, où ils servent de modèles de géométrie aléatoire. L'objectif de l'exposé est de discuter un espace métrique aléatoire qui est la limite continue des grandes cartes planaires aléatoires, comme le mouvement brownien usuel est la limite continue de longues marches aléatoires. Cet espace métrique aléatoire, appelé la carte brownienne d'après Marckert et Mokkadem, s'écrit comme un quotient de l'arbre continu d'Aldous (le CRT) pour une relation d'équivalence définie à partir d'étiquettes browniennes affectées aux sommets du CRT. Même si le problème important de l'unicité de la loi de la carte brownienne reste ouvert, il est possible d'en établir de nombreuses propriétés géométriques. Nous décrirons des résultats récents concernant l'unicité des géodésiques dans la carte brownienne, et les applications de ces résultats aux propriétés des grandes cartes planaires aléatoires.